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Der Theil-Index gehört zu der Klasse der Ungleichverteilungsmaße und wurde von dem Ökonometriker Henri Theil entwickelt. Er dient der statistischen Beschreibung von Einkommens- und Vermögensverteilungen.

Der Theil-Index kann zur Beschreibung der Ungleichheit innerhalb und zwischen Gruppen zerlegt werden. Diese Zerlegbarkeit ist ein wichtiger Unterschied zu dem Gini-Koeffizient, einem populäreren Ungleichheitsmaß.cite-ref-1[1]

• Definition

• Beziehungen/Ableitungen

• Zerlegbarkeit

• Literatur

• Weblinks

• Einzelnachweise

Für n {\displaystyle n} Personen mit Einkommen y 1 , … … , y n {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}} ist das Durchschnittseinkommen μ μ = 1 n ∑ ∑ i = 1 n y i {\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}} und es werden Theil-Indizes T L , T T , T S {\displaystyle T_{L},T_{T},T_{S}} unter der Konvention 0 ⋅ ⋅ ln ⁡ ⁡ 0 = 0 {\displaystyle 0\cdot \ln {0}=0} wie folgt definiert:

T T = T α α = 1 = 1 n ∑ ∑ i = 1 n ( y i μ μ ⋅ ⋅ ln ⁡ ⁡ y i μ μ ) {\displaystyle T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {y_{i}}{\mu }}\cdot \ln {\frac {y_{i}}{\mu }}\right)}

T L = T α α = 0 = M L D = 1 n ∑ ∑ i = 1 n ( ln ⁡ ⁡ μ μ y i ) {\displaystyle T_{L}=T_{\alpha =0}=MLD={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {\frac {\mu }{y_{i}}}\right)}

T S = 1 n ∑ ∑ i = 1 n [ 1 2 ( y i μ μ − − 1 ) ln ⁡ ⁡ ( y i ) ] {\displaystyle T_{S}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {y_{i}}{\mu }}-1\right)\ln(y_{i})\right]}

MLD steht hierbei für mean log deviation. Es gelten dabei die Beziehungen

T L ( y ) = T T ( 1 y ) {\displaystyle T_{L}(y)=T_{T}\left({\frac {1}{y}}\right)}

T S = T T + T L 2 {\displaystyle T_{S}={\frac {T_{T}+T_{L}}{2}}}

0 ≤ ≤ T L {\displaystyle 0\leq T_{L}}

T L = 0 ⇔ ⇔ T T = 0 ⇔ ⇔ T S = 0 ⇔ ⇔ y i = μ μ für alle i {\displaystyle T_{L}=0\quad \Leftrightarrow \quad T_{T}=0\quad \Leftrightarrow \quad T_{S}=0\quad \Leftrightarrow \quad y_{i}=\mu \quad {\text{für alle }}i}

T T = ln ⁡ ⁡ ( n ) ⇔ ⇔ y i = n μ μ für ein i {\displaystyle T_{T}=\ln(n)\quad \Leftrightarrow \quad y_{i}=n\mu \quad {\text{für ein }}i}

T S ( y ) = T S ( 1 y ) {\displaystyle T_{S}(y)=T_{S}\left({\frac {1}{y}}\right)}

Claude Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Ist S {\displaystyle S} das Shannons-Maß, so gilt

T = ln ⁡ ⁡ ( N ) − − S {\displaystyle T=\ln(N)-S} .

e T {\displaystyle e^{T}} ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem Ungleichverteilungsmaß ( 1 − − e T ) {\displaystyle \left(1-e^{T}\right)} .

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in m {\displaystyle m} Untergruppen aufgeteilt werden kann und s k {\displaystyle s_{k}} der Einkommensanteil einer Untergruppe k {\displaystyle k} am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt T k {\displaystyle T_{k}} die Ungleichverteilung in der Untergruppe und x ¯ ¯ k {\displaystyle {\overline {x}}_{k}} ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe k {\displaystyle k} . Der Theil-Index T k {\displaystyle T_{k}} ist dann

T = ∑ ∑ k = 1 m s k T k + ∑ ∑ k = 1 m s k ln ⁡ ⁡ x ¯ ¯ k x ¯ ¯ {\displaystyle T=\sum _{k=1}^{m}s_{k}T_{k}+\sum _{k=1}^{m}s_{k}\ln {\frac {{\overline {x}}_{k}}{\overline {x}}}} .

So beschrieben, ist der Theil-Index T k {\displaystyle T_{k}} dann der „Beitrag“ der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

• Henri Theil: The Information Approach to Demand Analysis. In: Econometrica. Vol. 33, Nr. 1, Januar 1965, ISSN 0012-9682, S. 67–87 (JSTOR:1911889)

• Pedro Conceição, Pedro Ferreira: The Young Person’s Guide to the Theil Index: Suggesting Intuitive Interpretations and Exploring Analytical Applications. (PDF; 1,4 MB). UTIP Working Paper Number 14, Februar 2000.

• University of Texas Inequality Project. Tutorials mit Schwerpunkt auf dem Theil Index (englisch).

cite-note-11. ↑ Paul D. Allison: Measures of Inequality. In: American Sociological Review. Band 63, Nr. 6, Dezember 1978, S. 877.